中国科大证明了符号动力系统的通有周期最优化与边界最优化二分定理

近日，中国科学技术大学数学科学学院黄文教授、许雷叶特任教授与伦敦玛丽女王大学Oliver Jenkinson教授、安徽理工大学张一威教授合作，在符号动力系统的通有周期最优化问题上取得重要进展。研究团队针对具有弱双曲性但Mañé上同调引理不成立的动力系统，发展了最大化集的理论。该理论建立了一个结构定理，有效地分离出系统中可能阻碍通有周期最优化的部分，进而证明了符号动力系统的通有周期最优化与边界最优化二分定理。相关研究成果以”Typical periodic optimization for dynamical systems: Symbolic dynamics”为题，于2026年3月5日在线发表在《数学新进展》（Inventiones Mathematicae）。

黄文、许雷叶与合作者Oliver Jenkinson、张一威针对具有弱双曲性但Mañé上同调引理不成立的动力系统(X,T)，发展了最大化集以及可数可最大化族的理论，用于研究Lipschitz范畴下的通有周期最优化问题，即证明存在Lipschitz函数空间Lip(X)的一个开稠密子集，其中每个函数都具有唯一的最大化测度，且该测度为周期测度（即单条周期轨道上的均匀分布）。对于具有可数可最大化族的动力系统(X,T)，他们建立了一个一般的结构定理，将Lip(X)的某个开稠密子集表示为两个开集的并：一个对应于周期测度，另一个对应于（潜在的）非周期测度。这有效地分离出系统中可能阻碍通有周期最优化的部分，而对该部分（对应于所谓的系统边界）的进一步分析，将有助于揭示周期最优化是否为通有的。

在符号动力系统框架下，该结构定理得到进一步深化，由此证明了符号动力系统的通有周期最优化与边界最优化二分定理：对于任意给定的有限字母表的移位空间X，存在Lip(X)的一个开稠密子集，其中每个函数的最大化测度要么是周期测度，要么支撑在该移位空间的Markov边界上。由此可得，Contreras关于有限型移位的通有周期最优化定理（《数学新进展》2016年）可以推广到更广泛的移位空间类，包括所有sofic移位。

此外，该结构定理还被用于构造反例：存在一类移位空间，其周期测度在全体不变测度中稠密，但通有周期最优化性质却不成立。其思路是：首先选取一个合适的（极小的、唯一遍历的、非周期的）移位系统 Z（例如Morse移位），然后通过在一个特定的稀疏的 Z-允许块集合之间插入一个新符号来构造一个移位空间X，使得X的Markov边界恰为Z，并且Z上的唯一不变（非周期）测度在 Lip(X) 中是鲁棒最大化的。

上述研究工作得到国家重点研发计划“数学和应用研究”重点专项、国家自然科学基金的支持。

论文链接：https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-026-01411-x

（数学科学学院、科研部）