北京大学力学与工程科学学院戴兆贺课题组建立软薄层深压痕非线性理论

近日，北京大学力学与工程科学学院力学系戴兆贺课题在软薄层深压痕与界面黏附理论方面取得进展，该理论超越经典“10%压痕法则”，将传统上被回避的深压痕区间转化为可解析、可表征的实验窗口。相关成果以“Deep Indentation of Soft Thin Films Beyond the 10% Rule”为题，于2026年7月14日发表在Physical Review Letters上。北京大学陆煌为论文第一作者，戴兆贺为通讯作者。

论文封面

压痕是感知材料软硬最直接的方式之一，也是原子力显微镜、纳米压痕等技术表征软材料力学性质的基本手段。然而，当软薄层附着于刚性基底时，基底会约束薄层变形，使测得的“表观刚度”远高于材料本身的刚度。为减弱基底效应，实验中通常将压痕深度限制在薄层厚度的10%以内，即所谓“10%经验法则”。然而，对近年来广泛关注的生物细胞、软涂层等薄膜体系来说，这一法则却未必可靠。球形压头形成的横向接触尺度会随压痕深度增大而迅速扩展，因此，即使压痕深度尚不足薄层厚度的10%，基底也可能已经显著影响测量结果。若进一步减小压痕深度，微弱的力信号和长程压头—样品相互作用又会使初始接触点难以准确确定；采用尖锐压头则可能引起局部大应变，甚至造成材料损伤。

图1  软薄层球形压痕的三种力学区间。进入深压痕区间后，经典Hertz接触理论和线性Winkler地基模型均会显著低估压痕载荷

针对这一困境，研究团队转换思路：不再设法回避基底效应，而是采用几何形状明确、力学性能稳定的大球形压头，主动进入压痕深度与薄层厚度相当的“深压痕”区间。该区间的力信号更强，初始接触点误差的相对影响更小，但同时伴随着显著的几何非线性和材料非线性，传统Hertz接触理论与线性Winkler地基模型因而不再适用。

研究团队利用薄层的小厚长比开展渐近分析。结果表明，在深压痕问题的主导阶上，薄层变形主要由厚度方向的法向伸缩控制。局部接触压力仍可由局部压缩位移确定，但二者之间呈现显著的非线性关系。进一步结合轴对称条件和球形压头几何，原本涉及有限变形、超弹性本构和接触边界的三维非线性问题，可以化简为压痕载荷与压痕深度之间的直接代数关系。这一降维结果为深压痕区间提供了简洁、明确且易于计算的理论描述。

以可压缩Neo-Hookean材料为例，该模型自然呈现受压硬化和受拉软化行为。研究团队进一步提出了由机械弹簧与气体弹簧并联组成的力学类比：机械弹簧描述材料的小变形刚度，气体弹簧则捕捉材料接近完全压缩时的强烈硬化。在归一化压缩位移小于1的范围内，这一类比模型描述理论非线性响应的误差不超过2%，从而为理解复杂的超弹性本构提供了直观的物理图像。

图2  从线性Winkler地基到“机械弹簧—气体弹簧”并联系统的非线性等效模型，以及理论预测与有限元结果的比较

研究团队进一步考察了Neo-Hookean、Mooney–Rivlin和Arruda–Boyce三类超弹性本构，并针对不同的压头半径与薄层厚度之比开展了系统的有限元模拟。结果表明，理论预测与数值结果在较宽的参数范围内高度一致。即使压痕深度接近薄层厚度，该理论仍能准确捕捉材料的压缩硬化行为；相比之下，Hertz接触理论和线性Winkler地基模型会显著低估压痕载荷。对于接近不可压缩的材料，研究团队还通过更高阶渐近分析获得了非局部的压力—位移关系，并提出了判断高阶修正何时不可忽略的无量纲参数。

这一理论也为压痕实验数据的解释带来了新的可能。不同超弹性模型在浅压痕区间具有相同的小应变响应，而在深压痕区间则逐渐呈现不同的应变硬化特征。因此，深压痕数据不仅可以用于反演薄层的小应变弹性性质，还可进一步用于识别材料的大变形本构行为。对力信号微弱、初始接触点难以判断的生物细胞和超薄软涂层来说，深压痕有望提供一种比极浅压痕更稳定、更易实施的表征路径。

在此基础上，研究团队进一步考察了压痕试验卸载阶段压头回撤时的界面黏附行为。通过在接触边缘引入能量平衡条件，研究团队发现，在薄层渐近区间内，拉脱力既不依赖于薄层所采用的超弹性本构，也不受几何非线性的影响，而仅由压头半径和界面黏附能决定。这一普适结果使拉脱力能够更直接地用于反演界面黏附能。

该工作将传统上被“10%法则”排除的深压痕区间，转化为一个理论上可解析、实验上更易实现的材料表征窗口，为统一理解刚性基底支撑软薄层在大变形下的压痕和黏附行为提供了新的理论框架。相关成果有望应用于生物细胞、软涂层和超薄聚合物膜等体系的力学与界面性质测量，并为建立更加可靠的软薄层深压痕表征方法提供理论基础。

该研究得到国家自然科学基金（项目编号：12372103、12432003）的支持。