文章导读
代数几何的百年难题迎来转机？清华大学焦骏鹏博士后最新突破揭示：当卡拉比-丘纤维的Iitaka体积有界且纤维结构可控时，这类高维代数簇的全空间竟在crepant双有理等价下实现严格有界！这项发表于《微分几何杂志》的研究，不仅破解了模空间有限型的关键瓶颈，更将为代数簇分类提供全新理论工具。从此，高维几何的"无限迷宫"终于有了可测量的边界——数学家们等待多年的统一框架，正在焦骏鹏的方程中悄然成形。
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近日，清华大学丘成桐数学科学中心博士后焦骏鹏系统研究了具有卡拉比-丘纤维化结构的代数簇的有界性问题，证明了当典范除子的Iitaka体积（Iitaka volume）有界，且一般纤维属于某个极化卡拉比-丘对的有界族时，这类纤维化的全空间在典范相伴（crepant）双有理等价意义下具有有界性。这一突破性成果不仅深化了对极化卡拉比-丘纤维化本质特征的理解，同时为模空间有限型问题提供了关键性证据，更有望为crepant双有理等价分类提供新的理论工具。
代数簇的有界性（boundedness）是代数几何中的一个重要课题，主要研究在给定的几何或代数条件下，某一类代数簇是否可以被有限多个参数所控制。具体而言，给定一族满足特定性质的代数簇，如固定的维数、典范体积或具有某种奇点类型等，有界性问题探讨是否存在一个统一的参数空间（如模空间或希尔伯特概形）来分类这些簇，使得它们在双有理等价或更精细的等价关系下仅对应有限多个“基本模型”。
有界性问题与双有理几何、模空间理论以及极小模型纲领密切相关。在典范极化代数簇（log canonically polarized varieties）的研究中，克里斯多夫·哈孔（Christopher Hacon）、詹姆斯·麦凯尔南（James McKernan）与许晨阳合作证明，具有固定维数且典范体积有界的典范极化代数簇构成有界族。这一成果为高维代数几何中的KSBA模空间（Kollár-Shepherd-Barron and Alexeev moduli space）理论奠定了基础。另一方面，在对法诺簇（Fano varieties）的研究中，著名的BAB猜想（Borisov-Alexeev-Borisov conjecture）断言，具有epsilon对数典范奇点的法诺簇构成有界族。这个困扰学界多年的难题最终由卡切尔·比尔卡尔（Caucher Birkar）教授在其获得菲尔兹奖的重要工作中彻底解决。他不仅证明了BAB猜想，还发展了一系列研究法诺簇有界性的新方法，为现代双有理几何带来了革命性的工具。
焦骏鹏的研究聚焦于极化卡拉比-丘纤维化的有界性，这一工作处于上述两个经典研究方向的前沿交叉地带。他探索了在纤维化结构下，如何通过控制典范除子的数值性质和纤维的几何行为，来建立整体空间的有界性。这类结果不仅深化了对高维代数簇结构的理解，也为模空间的有限性问题和双有理分类提供了新的理论框架，特别对研究具有纤维化结构的代数簇具有独特价值。
相关研究成果以“极化卡拉比-丘纤维化的有界性”（Boundedness of polarized log Calabi-Yau fibrations）为题，近日发表于《微分几何杂志》（Journal of Differential Geometry, JDG）。
丘成桐数学科学中心博士后焦骏鹏为论文的通讯作者和第一作者。
论文链接：
https://projecteuclid.org/journals/journal-of-differential-geometry/volume-130/issue-3/Boundedness-of-polarized-log-CalabiYau-fibrations/10.4310/jdg/1749495319.full
供稿：数学中心
编辑：李华山
审核：郭玲
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