清华大学数学中心罗伯特·麦克雷在顶点算子代数领域取得重要成果

顶点算子代数为二维共形场论提供了严格的数学框架，并与表示论、低维拓扑以及量子物理有着深刻联系。该领域的核心问题之一，是判定一个顶点算子代数何时是“强有理”的——这一性质保证了其表示范畴构成一个模张量范畴（modular tensor category），而模张量范畴在拓扑量子场论与拓扑量子计算中具有重要应用。

2月25日，清华大学丘成桐数学科学中心副教授罗伯特·麦克雷（Robert McRae）在《剑桥数学杂志》（Cambridge Journal of Mathematics）以“论C₂-余有限顶点算子代数的有理性”（On rationality for C₂-cofinite vertex operator algebras）为题发文，在顶点算子代数理论结构方面取得重要突破，解决了若干长期悬而未决的猜想，并提出了判定有理性的强有力新准则。

该工作中，麦克雷研究了一类重要的顶点算子代数——C₂-余有限顶点算子代数。虽然C₂-余有限性保证了某些有限性与解析性质，但如何判定此类代数的有理性，一直是一个具有挑战性的难题。

麦克雷证明并获得了三项成果。第一，研究证明了若一个单、自对偶、C₂-余有限顶点算子代数的模范畴在张量意义下是刚性的，则该范畴自动成为一个可分解有限带状范畴（factorizable finite ribbon category），即一个（可能非半单的）模张量范畴。在对数共形场论背景下，这一结果部分验证了一个备受关注的结构定理。

第二，研究建立了一个关于刚性的模性判据：若真空特征( vacuum character)在模S-变换下可以纯粹表示为普通特征（ordinary character）的线性组合（不含伪迹项），则该模范畴是刚性的。这一结果将特征的模不变性与范畴对偶结构紧密联系起来。

第三，研究证明了若一个C₂-余有限顶点算子代数的Zhu代数是半单的，则该顶点算子代数本身是有理的。这一结论提供了一个内部可验证且操作性强的有理性判据，在许多具体情形下，大大简化了证明强有理性的过程。

上述理论成果的重要应用之一，是解决了关于例外型仿射W-代数的Kac–Wakimoto–Arakawa猜想。此类W-代数源自对可容许水平（admissible level）的仿射李代数顶点算子代数进行量子Drinfeld–Sokolov约化而得到，在表示论与共形场论中占据核心地位。

结合近期关于相关Zhu代数半单性的研究成果，麦克雷的定理推出：所有C₂-余有限的例外型仿射W-代数均为强有理。这一结果完成了一般情形猜想的证明。

论文还推进了长期存在的陪集代数（coset algebra）有理性问题。对于一个包含强有理子代数的强有理顶点算子代数，其对应的陪集代数（或交换子代数）何时继承有理性，一直尚不明确。麦克雷证明：若该陪集代数满足C₂-余有限条件，则其必为强有理。该结果将问题归结为验证C₂-余有限性，从而澄清了此类子结构的有理性机制。

研究借助辫子张量范畴理论的图形演算，得到了一个用于证明（范畴）刚性的关键恒等式

该工作融合了辫子张量范畴理论的高阶技术与涉及亏格一相关函数和模变换的解析方法。通过将解析方法与范畴论工具相结合，论文统一了顶点算子代数研究中的多条理论路径，并为有理与对数型共形场论的进一步研究提供了新的技术手段。

清华大学丘成桐数学科学中心副教授罗伯特·麦克雷（Robert McRae）为论文唯一作者。

论文链接：

https://intlpress.com/JDetail/2026366315557601282

供稿：数学中心

编辑：李华山

审核：郭玲